welcome

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

1. Penjumlahan Matriks

Jumlah matriks A dan B, ditulis matriks A + B, adalah suatu matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan B.

Misalnya:

Matriks $\begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}$ dapat dijumlahkan dengan matriks $\begin{bmatrix} e & f\\ g & h \end{bmatrix}$ .

Matriks $\begin{bmatrix} a &b &c\\ d &e &f \end{bmatrix}$ dapat dijumlahkan dengan matriks $\begin{bmatrix} g &h &i\\ j &k &l \end{bmatrix}$ .

dan seterusnya.

Secara umum, jika matriks A = [a_ij] dan B = [b_ij] maka matriks A + B = [a_ij] + [b_ij] = [a_ij + b_ij].

Bagaimana jika kedua matriks mempunyai ordo yang tidak sama?

Misalnya:

matriks $\begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}$ dengan matriks $\begin{bmatrix} a &b &c\\ d &e &f \end{bmatrix}$ . Dapatkah kedua matriks itu dijumlahkan?

Coba kalian diskusikan dengan teman-temanmu. Setelah melakukan diskusi tentang permasalahan di atas, tentu kalian dapat menyimpulkan sebagai berikut.

Syarat agar dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan adalah mempunyai ordo yang sama.

Contoh Soal 7 :

Diketahui A = $\begin{bmatrix} 5 & -2\\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ , B = $\begin{bmatrix} 4 & 2\\ 5 & -6 \end{bmatrix}$ , dan C = $\begin{bmatrix} 3 &1 &-2\\ 2 &5 &-3 \end{bmatrix}$ Tentukan :

a. A + B;

b. A + C.

Penyelesaian :

a. A + B = $\begin{bmatrix} 5 & -2\\ 3 & 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 4 & 2\\ 5 & -6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5+4 & -2+2\\ 3+5 & 1\left (-6 \right ) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9 & 0\\ 8 & -5 \end{bmatrix}$

b. A + C = $\begin{bmatrix} 5 & -2\\ 3 & 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3 &1 &-2\\ 2 &5 &-3 \end{bmatrix}$ tidak dapat dijumlahkan karena ordonya tidak sama.

Contoh Soal 8 :

Carilah nilai x dan y yang memenuhi $\begin{bmatrix} 2x\: +\: 1 \\ 3y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 4y \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 \\ 8 \end{bmatrix}$

Jawaban :

Terlihat dari persamaan matriks ini, diperoleh 6x + 1 = 3

↔ x = 1/3 dan 4y = 8 ↔ y = 2. Jadi, diperoleh nilai x = 1/3 dan y = 2.

2. Pengurangan Matriks

a. Lawan Suatu Matriks

Sebelum kita membahas tentang pengurangan matriks, terlebih dahulu akan kita bicarakan mengenai lawan suatu matriks.

Lawan suatu matriks A adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan lawan dari elemen-elemen matriks A. Secara lebih jelas, dari suatu matriks A = [a_ij] dapat ditentukan lawan matriks yang ditulis dengan –A sehingga –A = [–a_ij]. Misalnya sebagai berikut.

Jika A = $\begin{bmatrix} 4 & 3\\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ , lawan matriks A adalah –A = $\begin{bmatrix} -4 & -3\\ -2 & -1 \end{bmatrix}$

Jika B = $\begin{bmatrix} -3 & 0\\ 2 & -1\\ -1&4 \end{bmatrix}$ , lawan matriks B adalah –B = $\begin{bmatrix} 3 & 0\\ -2 & 1\\ 1&-4 \end{bmatrix}$

b. Pengurangan terhadap Matriks

Pengurangan matriks A dan B, ditulis A – B, adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian letak dari matriks A dan B. Atau, matriks A – B adalah matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan matriks A dengan lawan dari matriks B, yaitu A – B = A + (–B) dengan –B adalah lawan matriks B. Seperti halnya dengan penjumlahan matriks, syarat agar dua matriks atau lebih dapat dikurangkan adalah mempunyai ordo yang sama. Secara umum, jika

A = [a_ij] dan B = [b_ij] maka A – B = [a_ij] – [b_ij] = [a_ij] – [b_ij]

Contoh Soal 9 :

Diketahui A = $\begin{bmatrix} 5 & 3\\ 2 & 6 \end{bmatrix}$ dan B = $\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 0 & -3 \end{bmatrix}$ . Tentukan A – B.

Jawaban :

Cara 1:

Karena –B = $-\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 0 & -3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ maka

A – B = A + (–B) = $\begin{bmatrix} 5 & 3\\ 2 & 6 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -2 & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5+\left (-2 \right ) & 3+1\\ 2+0 & 6+3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 4\\ 2 & 9 \end{bmatrix}$

Cara 2:

A – B = $\begin{bmatrix} 5 & 3\\ 2 & 6 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 0 & -3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5-2 & 3-\left (-1 \right )\\ 2-0 & 6-\left (-3 \right ) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 4\\ 2 & 9 \end{bmatrix}$

Contoh Soal 10 :

Hitunglah X jika diketahui $\begin{bmatrix} 6 & -5\\ 4 & 3 \end{bmatrix}+\: X\: =\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 10 & 0 \end{bmatrix}$

Penyelesaian :

X = $\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 10 & 0 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 6 & -5\\ 4 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4 & 8\\ 6 & -3 \end{bmatrix}$

3. Sifat-Sifat Penjumlahan Matriks

Agar kalian dapat menemukan sendiri sifat-sifat penjumlahan matriks, lakukan Aktivitas berikut.

Aktivitas :

Tujuan : Menemukan sifat-sifat penjumlahan matriks

Permasalahan : Sifat-sifat apakah yang berlaku pada penjumlahan matriks?

Kegiatan : Kerjakan soal-soal berikut di buku tugas.

1. Diketahui matriks A = $\begin{bmatrix} 3 & 2\\ 1 & 5 \end{bmatrix}$ , B = $\begin{bmatrix} 4 & 2\\ -1 & 5 \end{bmatrix}$ , dan C = $\begin{bmatrix} 6 & -5\\ 7 & 8 \end{bmatrix}$ . Tentukan hasil penjumlahan berikut, kemudian tentukan sifat apa yang berlaku.

a. A + B c. (A + B) + C

b. B + A d. A + (B + C)

2. Untuk matriks A = $\begin{bmatrix} 3 & -1&5\\ 2 & -2&7 \end{bmatrix}$ dan O = $\begin{bmatrix} 0 & 0&0\\ 0 & 0&0 \end{bmatrix}$ , dengan ordo A adalah 2 × 3 dan ordo O adalah 2 × 3, apakah A + O = O + A? Apakah A + O = O + A berlaku untuk semua matriks yang dapat dijumlahkan?

3. Diketahui matriks A = $\begin{bmatrix} -2 & 6&8\\ 5 & -7&-4 \end{bmatrix}$ . Tentukan A + (–A) dan (–A) + A. Matriks apakah yang kalian peroleh?

Kesimpulan : Berdasarkan kegiatan di atas, sifat apa saja yang kalian peroleh?

Berdasarkan Aktivitas di atas dapat ditemukan sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan matriks sebagai berikut. Jika A, B, dan C matriks-matriks yang berordo sama maka pada penjumlahan matriks berlaku sifat-sifat berikut.

a. A + B = B + A (sifat komutatif)

b. (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif)

c. Unsur identitas penjumlahan, yaitu matriks O sehingga A + O = O + A = A.

d. Invers penjumlahan A adalah –A sehingga A + (–A) = (–A) + A = O.

Perhatian :

Untuk pengurangan matriks tidak berlaku sifat komutatif, sifat asosiatif, dan tidak mempunyai unsur identitas.

Rabu, 05 November 2014